Anno di corso: 1

Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 12
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 4
Tipo: Altro

MATEMATICA II

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2014/2015
Anno di corso: 
2
Anno accademico di erogazione: 
2015/2016
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
64
Prerequisiti: 

Matematica I

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Modalità dell’esame:
- esame scritto e orale

Valutazione dell’esame:
- Voto in trentesimi 18-30/30

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Fornire gli strumenti di base per affrontare la modellazione di problemi ambientali.

Contenuti

Vettori in Rn, matrici e sistemi lineari. Calcolo differenziale ed integrale in Rn, equazioni differenziali.

Programma esteso

I NUMERI COMPLESSI: Definizione. Modulo, argomento, complesso coniugato e loro proprietà. Forma algebrica e trigonometrica. Potenza e radice n–esima di un numero complesso, teorema fondamentale dell’algebra, identità di Eulero.
ALBEGRA LINEARE: vettori in ; matrici, operazioni, determinante, rango, inversa; risolubilità dei sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss. Autovalori e autovettori. Forme quadratiche e loro segno.
CURVE: Funzioni vettoriali di una variabile reale, limiti e continuità. Curve, curve chiuse, curve semplici e curve piane. Sostegno di una curva. Derivata e versore tangente a una curva. Archi di curva regolari e regolari a tratti. Curve piane in forma polare. Curve rettificabili, lunghezza di una curva: definizione e formula per calcolarla. Integrali di funzioni a valori vettoriali. Il modulo dell’integrale è minore o uguale dell’integrale del modulo. Integrali di linea.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI REALI: Insiemi in Rn. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti: esempi e proprietà. Insiemi chiusi: esempi e proprietà. Insiemi connessi per archi e insiemi limitati. Funzioni di più variabili reali: introduzione e primi esempi. Grafici e insiemi di livello. Definizione e proprietà dei limiti per funzioni di più variabili. Limite infinito al finito e limite finito all’infinito. Funzioni continue e loro proprietà. Analisi delle forme di indeterminazione. Se f : Rn → R è continua {x ∈ Rn: f (x) > 0} è aperto. Teorema di Weierstrass e teorema degli zeri. Derivate parziali e gradiente, definizione di differenziabilità, legame tra differenziabilità e continuità e tra differenziabilità e derivabilità. Derivabilità lungo una direzione assegnata e formula del gradiente, significato geometrico del gradiente. Condizione sufficiente per la differenziabilità e la classe C1(Rn,R). Il differenziale primo. Derivata della funzione composta: il caso p(x) = g(f (x)) con f:Rn → R e g:R → R e il caso p(t) = f (r(t)) con f : Rn → R e r : R → Rn. Curve di livello e gradiente. Teorema del valor medio. Derivate di ordine superiore, e matrice Hessiana. Teorema di Schwarz e la classe C2. Formula di Taylor al primo ordine con resto secondo Lagrange e al secondo ordine con resto secondo Peano. Funzioni vettoriali di più variabili reali, matrice Jacobiana. Caso generale del teorema di derivazione della funzione composta. Diffeomorfismi.
OTTIMIZZAZIONE: Punti estremanti. Estremi liberi. Punti stazionari (o critici). Condizione necessaria per estremanti liberi (teorema di Fermat). Forma quadratica associata alla matrice Hessiana e suo legame con la natura dei punti critici: massimo relativo se definita negativa, minimo relativo se definita positiva, sella se indefinita. Retta ai minimi quadrati.
CENNI AGLI INTEGRALI MULTIPLI: Significato geometrico e proprietà dell’integrale doppio. Calcolo degli integrali doppi per riduzione su domini semplici. Cambiamento di variabili: trasformazione dell’elemento infinitesimo d’area e formula del cambiamento di variabili. Coordinate polari. Integrale della Gaussiana. Coordinate cilindriche e sferiche.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Definizione. Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali con esempi. Modello di crescita esponenziale. Ordine di un’equazione differenziale e sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali in forma normale ed equivalenza con sistemi del primo ordine. Problema di Cauchy. Problema di Cauchy per equazioni differenziali in forma normale di ordine n. Teorema di esistenza (Peano) e teorema di esistenza e unicità locale. Equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali esatte. Soluzione delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee. Struttura dell’integrale generale delle omogenee e delle non omogenee. Soluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Esempi del circuito RCL e dell’oscillatore armoni

Bibliografia consigliata

Analisi Matematica II, M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, ZANICHELLI.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Modalità didattica:
- Lezioni frontali

Periodo semestre:
- primo semestre

Contatti/Altre informazioni

Sul sito web: www.disat.unimib.it nell'area didattica è possibile trovare le informazioni sul c.v. del docente, il numero di telefono dello studio, la sede universitaria o di lavoro, l’orario di ricevimento studenti e l’indirizzo e-mail.