MATEMATICA GENERALE

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2014/2015
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2014/2015
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
5
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
35
Prerequisiti: 

E’ da considerarsi prerequisito
essenziale la conoscenza dei
seguenti argomenti:
i) insiemi dei numeri naturali,
interi, razionali, irrazionali e
reali;
ii) insiemi di punti sulla retta
orientata e sul piano coordinato;
iii) corrispondenza tra insiemi
numerici e insiemi di punti
della retta;
iv) concetto di funzione;
v) funzioni elementari
(esponenziale, logaritmo,
potenze, etc.) e loro proprietà;
vi) equazioni e disequazioni in
una variabile di primo e
secondo grado, frazionarie,
irrazionali, esponenziali e logaritmiche.

Moduli

Metodi di valutazione

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Esame scritto contenente domande di teoria ed esercizi da risolvere.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Il primo obiettivo del corso è
quello di illustrare e motivare le
tecniche di calcolo che portano
dalla definizione analitica di
una funzione di una variabile ad
una sua rappresentazione
grafica che ne evidenzi le
caratteristiche principali quali
monotonia, estremanti relativi
ed assoluti, concavità e
convessità.
Il secondo obiettivo consiste nel
fornire alcune tecniche per
risolvere problemi di
ottimizzazione - vincolati e non
- che coinvolgano funzioni di
due variabili.

Contenuti

Studio delle funzioni di una
variabile: limiti, continuità,
derivabilità, disegno del
grafico.
Studio delle funzioni di due
variabili: problemi di
massimizzazione libera e
vincolata.

Programma esteso

1. Introduzione agli insiemi ed alle operazioni su di essi. Insiemi numerici. Nozione di funzione: dominio, insieme immagine. Funzioni iniettive. Concetti di funzione composta e funzione inversa. Grafico di una funzione. Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni convesse e concave, funzioni pari e dispari.
Funzioni elementari e loro grafici. Disequazioni di primo e secondo grado, frazionarie, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
Topologia della retta reale. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di sottoinsiemi della retta reale. Sistema ampliato dei numeri reali: definizione delle operazioni, di intorno di un suo punto e di estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di suoi sottoinsiemi. Operazioni sulle funzioni elementari: le funzioni quasi-elementari.

2. Nozione di limite. Asintoti. Limite destro e sinistro. Teorema di permanenza del segno. Nozione di successione. Teorema di esistenza del limite. Teorema di unicità del limite. Condizioni sufficienti per l'esistenza del limite: il teorema di esistenza del limite per funzioni monotone, i teoremi del confronto. Continuità e classificazione delle discontinuità. Teoremi di Weierstrass, di Darboux, degli zeri. Algebra dei limiti e forme di indecisione nel calcolo degli stessi. Cambiamento di variabile nel calcolo dei limiti: esempi. Infiniti e infinitesimi e loro gerarchia. Concetto di o piccolo. Asintoti obliqui.

3. Nozione di derivata, di derivata destra e sinistra. Significato geometrico ed equazione della retta tangente. Punti di non differenziabilità: punti angolosi e cuspidi. Eccezioni alla derivabilità per le funzioni quasi-elementari. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: algebra delle derivate, derivata di funzione composta. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivate di ordine superiore. Teoremi di Rolle e di Lagrange, e sue conseguenze. Teoremi di De l'Hopital. Approssimazione delle funzioni derivabili: formule di Taylor e di Mac Laurin con resto di Peano e Lagrange. Risoluzione delle forme di indecisione nel calcolo dei limiti.

4. La derivata come strumento per lo studio della monotonia. Definizione di estremo relativo ed assoluto. Ricerca dei punti di estremo relativo e assoluto nel caso di funzione obiettivo derivabile: studio del segno della derivata prima. Punti stazionari. Condizione necessaria per estremante locale. Condizione sufficiente per estremante di funzione derivabile almeno due volte. Convessità e concavità: caratterizzazione per funzioni derivabili una e due volte. Punti
di flesso. Studio di funzione.

5. Le funzioni di due variabili. Rappresentazione attraverso le curve di livello. Topologia del piano: definizione di intorno. Nozioni di limite e continuità. Derivate parziali prime e seconde. Lemma di Schwarz. Punti stazionari. Condizione necessaria per estremante locale. Condizione sufficiente per estremante. Problemi di ottimizzazione liberi (senza vincoli). Problemi di ottimizzazione con vincoli in forma di uguaglianza: metodi di sostituzione e dei moltiplicatori di Lagrange. Introduzione ai problemi di ottimizzazione con vincoli in forma di disuguaglianza: soluzione per alcuni esempi.

Bibliografia consigliata

Angelo Guerraggio,
MATEMATICA, seconda
edizione, Pearson

Metodi didattici

Lezioni frontali di teoria e
risoluzione di esercizi alla
lavagna.

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