MATEMATICA PER L'ECONOMIA II M

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2014/2015
Anno di corso: 
2
Anno accademico di erogazione: 
2015/2016
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
6
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
42

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

SCRITTO E ORALE

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è duplice: fornire gli strumenti analitici essenziali per trattare problemi di ottimizzazione dinamica e introdurre con rigore gli studenti alla teoria della misura e ai processi stocastici.

Contenuti

Controllo ottimo deterministico con il metodo variazionale e con il metodo della programmazione dinamica. Introduzione alla teoria della misura e dei processi stocastici.

Programma esteso

1. CONTROLLO OTTIMO.
Definizioni di controlli, dinamica, traiettorie. Controlli ammissibili.
a. Controllo ottimo con il metodo variazionale.
Il teorema di Pontryagin e il principio di Massimo.
Il teorema di Eulero del calcolo della variazioni come caso particolare del teorema di Pontryagin.
Condizioni sufficienti di ottimalità: teorema di Mangasarian e condizione di Arrow.
Soluzione del problema di strategia aziendale di produzione/vendita I .
Definizioni di controlli bang-bang, istanti di commutazione e controlli singolari: la costruzione di una strada di montagna a costo minimo.
Problemi ad intervallo illimitato: controesempio di Halkin, condizioni di ottimalità. Modello di Ramsey
Hamiltoniana corrente. un problema di consumo ottimo I.
Problemi di Mayer, di Bolza e Lagrange: loro equivalenza.
Modello di aggiustamento della domanda di lavoro.
b. Controllo ottimo con il metodo della Programmazione Dinamica.
Definizione della funzione valore.
Il principio di ottimalità di Bellman. Le proprietà della funzione valore: l’equazione di Bellmann-Hamlton-Jacobi. Condizioni sufficienti di ottimalità per il caso generale. Soluzione del problema di strategia aziendale di produzione/vendita II.
Problemi autonomi, ad orizzonte illimitato: la funzione valore corrente. Un problema di consumo ottimo II.
Legami tra i metodi variazionali e la Programmazione Dinamica; interpretazione del moltiplicatore nel caso generale

2. Fondamenti di TEORIA DELLA MISURA e di PROCESSI STOCASTICI.
a. Elementi di teoria della probabilità.
Numerabilità di insiemi. Teorema di Cantor.
Algebra, -algebra e loro proprietà. -algebra generata, -algebra di Borel. Atomi di una -algebra.
Misure: misura di probabilità. Lemma Borel-Cantelli. Teorema di estensione di Caratheodory. Misure di Lebesgue-Stieltjes: misura di Bernoulli, misura di Dirac, misura di Lebesgue, misura di Gauss.
Insieme di Cantor: costruzione e proprietà.
Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Integrale di Lebesgue e sue proprietà. Funzioni integrabili. Confronto fra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue: la funzione di Dirichlet.
Variabili aleatorie X. (X) algebra generata da X. Valore atteso di una v.a. X. Disuguaglianza di Chebyshev.
Probabilità di distribuzione di X, funzione di distribuzione di X, densità di X, funzione caratteristica di X: loro relazioni e uso.
Probabilità equivalenti: teorema di Radon Nikodým.
Probabilità condizionata. Indipendenza di  algebre e di v.a. Legge forte dei grandi numeri e teorema del limite centrale.
b. Martingale e costruzione del moto Browniano.
Valore atteso condizionato: definizione, esistenza, proprietà.
Filtrazione, processo stocastico, martingala.
La costruzione dello spazio di probabilità degli infiniti lanci della moneta (TC,A,P) e della filtrazione associata An
Processo stocastico Y=Yn ”T (Testa) o C (Croce) all’n-esimo lancio”: misura e funzione di distribuzione, funzione caratteristica, media e varianza, -algebra generata, indipendenza.
Processo stocastico M=Mn “passeggiata aleatoria”: la -algebra generata (Mn), M è adatto alla filtrazione An, media, media degli incrementi, varianza degli incrementi, non indipendenza, indipendenza degli incrementi, valore atteso condizionato E(Mn |An-1): M martingala se e solo se è simmetrica.
Passeggiata aleatoria simmetrica scalata.
Moto Browniano: definizione e sua costruzione come limite della passeggiata aleatoria simmetrica scalata.

Bibliografia consigliata

A. Calogero “Notes on optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete.
A. Calogero “Breve introduzione alla teoria della misura”, disponibile gratuitamente in rete.
B. Øksendal "Stochastic differential equations" Springer
E.S. Shreve, “Stochastic calculus for finance II” Springer
L.C. Evans “An introduction to mathematical optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete.
A. Calogero “Esercizi di Teoria della Misura”, disponibile gratuitamente in rete.
A. Calogero “Exercises of Dynamic Optimization”, disponibile gratuitamente in rete.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

LEZIONI FRONTALI

Contatti/Altre informazioni

Tutte le informazioni e il materiale didattico è consultabile in rete:
http://www.matapp.unimib.it/~calogero