Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente

Anno di corso: 2

Crediti: 8
Crediti: 16
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 39
Tipo: Lingua/Prova Finale

METODI MATEMATICI PER L’ANALISI ECONOMICA – CONTROLLO OTTIMO

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2016/2017
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2016/2017
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
56
Prerequisiti: 

Le conoscenze acquisite nei corsi della laurea triennale sono una base sufficiente.

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Modalità d'esame: esame scritto e orale

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire gli strumenti essenziali per lo studio dell’ottimizzazione dinamica e di mostrare alcuni classiche applicazioni economiche, soprattutto di macroeconomia.

Contenuti

Problemi di controllo ottimo con il metodo variazionale: teoria e modelli economici. Problemi di controllo ottimo con la programmazione dinamica: teoria e modelli economici. Introduzione ai giochi differenziali.

Programma esteso

1. INTRODUZIONE AL CONTROLLO OTTIMO
a. Alcuni problemi introduttivi
Il problema di allunaggio, in barca con Pontryagin, un modello di consumo ottimo, ”the lady in the lake”.
b. Formulazione di un problema di controllo ottimo
Definizioni di controlli, dinamica, traiettorie, insieme di controllo. Controlli ammissibili. Importanza del caso della dinamica lineare.
2. Il CONTROLLO OTTIMO CON METODO VARIAZIONALE
a. Il problema più semplice di controllo ottimo
Il teorema di Pontryagin (DIM nel caso di insieme di controllo U=R, DIM anche del lemma tecnico): commenti e conseguenze del principio del Massimo. Controllo estremale, moltiplicatore associato. Controllo normale e abnormale. Condizioni sufficienti di ottimalità: la condizione di Mangasarian (DIM) e la condizione di Arrow. Condizioni di transversalità per i problemi con punti iniziali/finali fissati. Sui problemi di minimo. Un esempio di controllo abnormale. A two sector model with investment and consumption goods. Modello di produzione e gestione del magazzino I.
b. Il problema più semplice di calcolo delle variazioni
Il teorema di Eulero (DIM come caso particolare del teorema di Pontryagin). Condizioni di transversalità per i problemi con punti iniziali/finali fissati. Condizioni sufficienti per il problema più semplice usando concavità/convessità. Curva di lunghezza minima.
c. Controlli singolari e bang-bang
Definizioni di controlli bang-bang, istanti di commutazione e controlli singolari. La costruzione di una strada di montagna a costo minimo.
d. Problema più generali di controllo ottimo
Problemi di Mayer, di Bolza e Lagrange: loro equivalenza. Condizione necessaria per il problema di Bolza con tempo finale fisso o libero (DIM). Problemi di Bolza nel calcolo delle Variazioni: le condizioni necessarie e sufficienti. Il modello di aggiustamento della domanda di lavoro (Hamermesh).
Problemi di time optimal. In barca con Pontryagin.
Problemi ad orizzonte infinito: controesempio di Halkin; condizione sufficiente (DIM). Hamiltoniana corrente e moltiplicatore corrente. Modelli di crescita economica: preferenze, funzioni di utilità: un modello di consumo ottimo con utilità log.
e. Problemi di esistenza e controllabilità
Esempi di classe di controlli vuota o di classe di controlli non vuota e senza controllo ottimo (controesempio di Bolza). Disuguaglianza di Gronwall. Teorema di esistenza del controllo ottimo per i problemi di Bolza: il caso con insieme di controllo chiuso e il caso con insieme controllo compatto.
3. CONTROLLO OTTIMO CON IL METODO DELLA PROGRAMMAZIONE DINAMICA
Definizione della funzione valore. La condizione (necessaria) finale sulla funzione valore (DIM). Il principio di ottimalità di Bellman (DIM). Le proprietà della funzione valore: l’equazione di Bellmann-Hamlton-Jacobi (DIM). L’Hamiltoniana della Programmazione Dinamica. Condizioni sufficienti di ottimalità (DIM). Sui problemi di minimo. La funzione valore del problema a tempo finale fisso e valore finale libero, è Lipschitz (DIM). Cenni alle soluzioni viscose.
Condizioni necessarie e sufficienti per problemi di controllo ottimo più generali. Soluzione del problema di strategia aziendale di produzione/vendita. Modello di produzione e gestione del magazzino II.
Problemi autonomi, ad orizzonte illimitato: la sua funzione valore corrente e la relativa equazione di BHJ. Un modello di consumo ottimo con utilità HARA. Cenni al modello stocastico di Merton.
Legami tra i metodi variazionali e la Programmazione Dinamica; interpretazione del moltiplicatore come prezzo ombra (DIM).
4. GIOCHI DIFFERENZIALI
a. Nozioni introduttive
Formulazione di un gioco differenziale a 2 giocatori. Giochi simmetrici, giochi completamente cooperativi, giochi a somma zero. Concetti di soluzioni: equilibrio di Nash, equilibrio di Stackelberg. Tipi di strategie: a ciclo aperto e feedback.
b. Soluzioni di equilibrio di Nash
*Strategie open loop. Definizione, uso dell’approccio variazionale e condizione sufficiente per avere una strategia

Bibliografia consigliata

• T. Başar, G.O. Olsder “Dynamic noncooperative game theory”, SIAM Classic in Applied Mathematics, 1998
• A. Bressan “Noncooperative differential games. A Tutorial”, Milan Journal of Nathematics, vol 79, pag 357-427, 2011.
• A. Calogero “Notes on optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete.
• A. Calogero “A very short tour on differential games”, disponibile gratuitamente in rete.
• L.C. Evans “An introduction to mathematical optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Contatti/Altre informazioni

Sul sito web: www.matapp.unimib.it è possibile trovare le informazioni sul c.v. del docente, il numero di telefono dello studio, la sede universitaria o di lavoro, l’orario di ricevimento studenti e l’indirizzo e-mail.