Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente

Anno di corso: 2

Crediti: 8
Crediti: 16
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 39
Tipo: Lingua/Prova Finale

GEOMETRIA SIMPLETTICA

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2016/2017
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2016/2017
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
56
Prerequisiti: 

Le nozioni di base sulle varietà differenziale, come introdotte per esempio nel corso di Geometria III. Verrà fatto comunque un breve riepilogo.

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Scritto su esercizi e dimostrazione, con discussione dello stesso.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è introdurre i concetti di base della Geometria Simplettica, a partire dagli aspetti locali per poi rivolgere l’attenzione alle proprietà più globali e, tempo permettendo, al tema della riduzione simplettica. Ci si propone in particolare di chiarire la natura geometrica di diversi concetti di grande importanze che vengono introdotti in vari contesti, quali mappa momento, funzioni generatrici, trasformazioni canoniche, equazione e teoria di Hamilton-Jacobi, eccetera.

Contenuti

La Geometria Simplettica è l’area della Matematica che sottende alla formulazione hamiltoniana della meccanica classica; è nella sua cornice che concetti come campo vettoriale hamiltoniano, flusso di fase, trasformazione canonica eccetera trovano un’interpretazione naturale e sistematica. Gli spazi delle fasi della meccanica hamiltoniana sono infatti i fibrati cotangenti di qualche spazio delle configurazioni di un sistema fisico, i quali possiedono una struttura simplettica naturale. Tuttavia, la classe delle varietà simplettiche è in realtà molto più ampia e comprende, per esempio, tutte le varietà proiettive complesse (non singolari). La Geometria (e la Topologia) Simplettica è un campo fondamentale e in intensa espansione; inoltre essa ha grande importanza anche per altre aree della Matematica. Concetti come, per esempio, mappa momento, riduzione simplettica, sottovarietà Lagrangiana sono pervasivi in Geometria e Fisica Matematica. Anche la Geometria Differenziale può essere interpretata alla luce della Geometria Simplettica, in quanto il flusso geodetico è un caso particolare di flusso Hamiltoniano. La Geometria Simplettica gioca inoltre un ruolo molto importante in Analisi Matematica, in particolare per quanto riguarda lo studio degli operatori integrali di Fourier e l’Analisi Semiclassica.

Programma esteso

• Algebra lineare simplettica.
• Struttura simplettica di un fibrato cotangente, equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson.
• Varietà simplettiche, loro sottovarietà notevoli e rispettivi intorni.
• Isotopie e teoremi di Darboux e di Moser.
• Funzioni generatrici, equazione di Hamilton-Jacobi, sua soluzione geometrica.
• Mappe momento e loro proprietà; riduzione simplettica.
• Strutture complesse e quasi-complesse compatibili, varietà di Kähler e varietà quasi-Kähler.

Bibliografia consigliata

V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press
D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press, Oxford

Letture consigliate:
V. Guillemin, S. Sternberg, Semiclassical Analysis, International Press
J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators, Birkhäuser

Contatti/Altre informazioni

Viene offerta la possibilità di sostenere un parziale all’incirca a metà del corso e un secondo parziale subito dopo il termine del corso; i parziali saranno una combinazione di teoria e pratica. Chi supera entrambi i parziali ha completato l’esame.