Anno di corso: 1

Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 12
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 4
Tipo: Altro

MATEMATICA II

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2017/2018
Anno di corso: 
2
Anno accademico di erogazione: 
2018/2019
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
64
Prerequisiti: 

Matematica I

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L’esame è strutturato in più prove.

1) Prova pratica (scritta): Nella prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Si richiede di risolvere alcuni problemi, di solito 6. Ogni esercizio vale 5 punti se non diversamente specificato. Vanno svolti in 120 minuti, giustificando per bene tutti i passaggi. Per essere ammessi alla prova teorica è necessario ottenere un punteggio di almeno 16.

2) Prova teorica:

Nella prova teorica/orale si richiede la capacità di esporre gli enunciati, le dimostrazioni di alcuni teoremi, le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte.

• Prove parziali: Durante il periodo delle lezioni si svolgono di norma due prove parziali che sostituiscono, in caso di superamento, la prova pratica. Per avere accesso alla prova teorica occorre aver riportato una votazione minima di punti 14 in ciascuna prova parziale. Le prove parziali sono costituite ciascuna da 10 problemi a risposta chiusa con il seguente punteggio. Risposta corretta: 3 punti ; risposta errata: −1 punti ; risposta non data: 0 punti.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Fornire gli strumenti di base per affrontare la modellazione di problemi ambientali

Contenuti

I numeri complessi. Vettori in R, matrici e sistemi lineari. Calcolo differenziale ed integrale in Rn, equazioni differenziali.

Programma esteso

I numeri complessi

Definizione. Modulo, argomento, complesso coniugato e loro proprietà. Forma algebrica e trigonometrica. Potenza e radice n–esima di un numero complesso, teorema fondamentale dell’algebra, identità di Eulero.

Algebra lineare

Vettori in Rn; matrici, operazioni, determinante, rango, inversa; risolubilità dei sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss. Autovalori e autovettori. Forme quadratiche e loro segno

Curve

Funzioni vettoriali di una variabile reale, limiti e continuità. Curve, curve chiuse, curve semplici e curve piane. Sostegno di una curva. Derivata e versore tangente a una curva. Archi di curva regolari e regolari a tratti. Curve piane in forma polare. Curve rettificabili, lunghezza di una curva: definizione e formula per calcolarla. Integrali di funzioni a valori vettoriali. Il modulo dell’integrale è minore o uguale dell’integrale del modulo. Integrali di linea.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Insiemi in Rn. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti: esempi e proprietà. Insiemi chiusi: esempi e proprietà. Insiemi connessi per archi e insiemi limitati. Funzioni di più variabili reali: introduzione e primi esempi. Grafici e insiemi di livello. Definizione e proprietà dei limiti per funzioni di più variabili. Limite infinito al finito e limite finito all’infinito. Funzioni continue e loro proprietà. Analisi delle forme di indeterminazione. Se f : Rn → R è continua {x ∈ Rn: f (x) > 0} è aperto. Teorema di Weierstrass e teorema degli zeri. Derivate parziali e gradiente, definizione di differenziabilità, legame tra differenziabilità e continuità e tra differenziabilità e derivabilità. Derivabilità lungo una direzione assegnata e formula del gradiente, significato geometrico del gradiente. Condizione sufficiente per la differenziabilità e la classe C1(Rn,R). Il differenziale primo. Derivata della funzione composta: il caso p(x) = g(f (x)) con f:Rn → R e g:R → R e il caso p(t) = f (r(t)) con f : Rn → R e r : R → Rn. Curve di livello e gradiente. Teorema del valor medio. Derivate di ordine superiore, e matrice Hessiana. Teorema di Schwarz e la classe C2. Formula di Taylor con resti secondo Lagrange e secondo Peano. Funzioni vettoriali di più variabili reali, matrice Jacobiana. Caso generale del teorema di derivazione della funzione composta. Diffeomorfismi.

Ottimizzazione

Punti estremanti. Estremi liberi. Punti stazionari (o critici). Condizione necessaria per estremanti liberi (teorema di Fermat). Forma quadratica associata alla matrice Hessiana e suo legame con la natura dei punti critici. Retta ai minimi quadrati.

Integrali multipli

Significato geometrico e proprietà dell’integrale doppio. Calcolo degli integrali doppi per riduzione su domini semplici. Cambiamento di variabili: trasformazione dell’elemento infinitesimo d’area e formula del cambiamento di variabili. Coordinate polari. Integrale della Gaussiana. Coordinate cilindriche e sferiche.

Equazioni differenziali

Definizione. Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali con esempi. Modello di crescita esponenziale. Ordine di un’equazione differenziale e sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali in forma normale ed equivalenza con sistemi del primo ordine. Problema di Cauchy. Problema di Cauchy per equazioni differenziali in forma normale di ordine n. Teorema di esistenza (Peano) e teorema di esistenza e unicità locale. Equazioni differenziali a variabili separabili. Soluzione delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee. Struttura dell’integrale generale delle omogenee e delle non omogenee. Soluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Esempi del circuito RLC e dell’oscillatore armonico smorzato. Soluzione delle equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti con il metodo di somiglianza. Cenni alla soluzione qualitativa delle equazioni differenz

Bibliografia consigliata

Matematica Generale, A. Guerraggio, Bollati Boringhieri. (Numeri complessi e Algebra lineare)

Analisi Matematica II, M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, ZANICHELLI. (Calcolo differenziale in più variabili ed equazioni differenziali)

Esercitazioni di Analisi Matematica 2, M. Bramanti, Esculapio, Bologna. (Esercizi)

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni frontali (erogate in lingua italiana), 8 cfu