Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 12
Crediti: 12
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 18
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 4
Tipo: Lingua/Prova Finale

CALCOLO DELLE PROBABILITA'

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2017/2018
Anno di corso: 
3
Anno accademico di erogazione: 
2019/2020
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
12
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
104
Prerequisiti: 

Le conoscenze, competenze e abilità impartite negli insegnamenti dei primi due anni, in particolare Algebra Lineare, Analisi 1 e 2, Teoria della Misura.

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Prova scritta - o prove parziali - e prova orale, con le modalità descritte qui sotto. Gli aspetti valutati in ciascuna prova sono l'esattezza delle risposte, la creatività, la precisione, la chiarezza espositiva. Ci saranno 5 appelli d'esame (due a febbraio, uno a luglio, uno a settembre, uno a gennaio).
• La prova scritta ha una durata di tre ore e riceve una valutazione in trentesimi. Nella prova vengono valutate abilità pratiche (soluzione di esercizi) oltre che conoscenze e competenze teoriche (definizioni, esempi e controesempi). La prova scritta risulta superata col punteggio minimo di 15/30 e permette di accedere alla prova orale.
• A metà e alla fine del corso sono previste due prove parziali scritte, della durata di un'ora e mezza ciascuna, valutate in quindicesimi. Il superamento di entrambe le prove parziali col punteggio minimo di 7,5/15 equivale al superamento della prova scritta (con la "somma" dei punteggi ottenuti) e permette di accedere alla prova orale.
• La prova orale ha una durata di 30-45 minuti e riceve una valutazione in trentesimi. Può essere sostenuta (dopo avere superato la prova scritta) in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico. Nella prova viene valutata la conoscenza di una selezione di dimostrazioni e la conoscenza operativa delle nozioni del corso. La prova orale risulta superata col punteggio minimo di 15/30.
• La valutazione finale risulta dalla media delle valutazioni della prova scritta e della prova orale. L'esame risulta superato col punteggio minimo di 18/30.
Esonero dalla prova orale. Chi supera la prova scritta con un punteggio compreso tra 20/30 e 27/30 può rinunciare a sostenere la prova orale, registrando il voto ottenuto nella prova scritta; con un punteggio superiore a 27/30 è ancora possibile rinunciare a sostenere la prova orale, ma in questo caso il voto registrato sarà di 27/30; infine, con un punteggio inferiore a 20/30, è necessario sostenere la prova orale.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire allo studente gli strumenti e i concetti di base del calcolo delle probabilità, illustrandone alcune applicazioni. Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti:
• conoscenze: linguaggio, definizioni ed enunciati dei risultati fondamentali della teoria della probabilità;
• competenze: comprensione operativa delle principali tecniche dimostrative;
• abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi e l'analisi di problemi.

Contenuti

1. Spazi di probabilità
2. Variabili aleatorie
3. Convergenza e teoremi limite
4. Introduzione alle catene di Markov
5. Esempi di modelli probabilistici

Programma esteso

1. Spazi di probabilità
• Introduzione alla probabilità: modelli matematici per un esperimento aleatorio
• Assiomi della probabilità
• Proprietà di base della probabilità, continuità dal basso e dall'alto
• Calcolo combinatorio e spazi di probabilità uniformi
• Probabilità condizionale, teorema di Bayes
• Indipendenza di eventi, prove ripetute e indipendenti
2. Variabili aleatorie
• Richiami di teoria della misura
• Distribuzioni notevoli sulla retta reale, discrete e continue
• Variabili aleatorie
• Leggi marginali e legge congiunta
• Indipendenza di variabili aleatorie
• Trasformazioni di variabili aleatorie
• Valore medio, varianza e covarianza
• Spazi Lp, disuguaglianze (Jensen, Cauchy-Schwarz, Hölder)
• Coefficiente di correlazione e regressione lineare (cenni)
3. Convergenza e teoremi limite
• Richiami sui teoremi di convergenza in teoria dell'integrazione
• Lemma di Borel-Cantelli
• Legge debole e forte dei grandi numeri
• Nozioni di convergenza per successioni di variabili aleatorie (q.c., in probabilità, in Lp)
• Convergenza debole di probabilità, convergenza in legge di variabili aleatorie
• Legge dei piccoli numeri (convergenza della distribuzione binomiale alla Poisson)
• Teorema limite centrale attraverso il principio di Lindeberg
• Teorema limite centrale attraverso le funzioni caratteristiche (cenni)
• Il metodo dell'approssimazione normale
• Indipendenza di sigma-algebre, legge 0-1 di Kolmogorov
4. Introduzione alle catene di Markov
• Introduzione ai processi stocastici, leggi finito-dimensionali
• Catene di Markov, matrice di transizione, proprietà di Markov
• Stati ricorrenti e transitori, misure invarianti e reversibili
• Teoremi di convergenza (cenni): teorema di convergenza all'equilibrio, legge dei grandi numeri
• Probabilità di assorbimento (cenni)
• Passeggiate aleatorie su grafi (cenni)
5. Esempi di modelli probabilistici (presentati in parallelo alla teoria)
• Paradossi classici (compleanni, Monty-Hall, Borel, Bertrand)
• Permutazioni aleatorie e punti fissi
• Proprietà di concentrazione del volume in alte dimensioni
• Il teorema di approssimazione di Weierstrass e la legge dei grandi numeri
• Simulazione di variabili aleatorie, il metodo Monte Carlo
• La passeggiata aleatoria semplice in una e più dimensioni
• Rovina del giocatore
• L'algoritmo PageRank

Bibliografia consigliata

Libri di riferimento
• F. Caravenna, P. Dai Pra. Probabilità. Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni. Springer-Verlag Italia, Milano (2013).
• D. Williams. Probability with Martingales. Cambridge University Press (1991).
Altro materiale didattico (disponibile sulla pagina e-learning del corso)
• Dispense del docente su argomenti specifici
• Fogli di esercizi settimanali (con soluzioni dettagliate)
• Testi delle prove scritte degli anni passati (con soluzioni dettagliate)
• Elenco delle dimostrazioni per la prova orale

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali in aula, articolate in:
• lezioni teoriche (10 cfu) in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati ed esempi rilevanti, in parallelo alle competenze relative alla loro comprensione;
• esercitazioni (2 cfu) in cui si forniscono abilità necessaire per applicare le conoscenze e competenze teoriche alla risoluzione di esercizi.
Corso erogato in lingua italiana.

Periodo: Terzo anno, primo semestre

Contatti/Altre informazioni

Orario di ricevimento
Fissato all'inizio del corso e riportato sulla pagina e-learning.
Pagina web
https://elearning.unimib.it/course/info.php?id=24357