Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 12
Crediti: 12
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 18
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 4
Tipo: Lingua/Prova Finale

ANALISI COMPLESSA

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2017/2018
Anno di corso: 
3
Anno accademico di erogazione: 
2019/2020
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
6
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
48
Prerequisiti: 

Analisi I, Analisi II, Algebra lineare

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Prova scritta, contenente domande di carattere teorico (dimostrazioni di parte dei risultati discussi a lezione) ed esercizi di applicazione della teoria, sovente di tipo simile a quelli illustrati durante le esercitazioni. Una valutazione sufficiente dell'elaborato presuppone che sia la valutazione delle conoscenze teoriche richieste, sia quella delle abilità necessarie allo svolgimento degli esercizi di applicazione della teoria risultino sufficienti.
La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva e della proprietà di linguaggio matematico utilizzato.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Il corso ha lo scopo di mettere gli studenti in grado di utilizzare con profitto i potenti metodi dell'analisi complessa in applicazioni teoriche e pratiche.
Più specificamente, i risultati di apprendimento attesi comprendono:
• la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari proprie dell'Analisi complessa
• la capacità di applicare il bagaglio di conoscenze sopra descritte alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi aventi diversi gradi di difficoltà (a partire da semplici esercizi di applicazione delle definizioni e dei risultati illustrati nel corso fino a esercizi che richiedono la capacità di sviluppare in modo originale concetti appresi nel corso).

Contenuti

Si tratta di un corso di base sulle funzioni di una variabile complessa. Contiene, tra l'altro, nozioni base relative alle funzioni olomorfe, al teorema di Cauchy e sue applicazioni, la teoria delle singolarita' isolate, degli zeri di funzioni olomorfe.

Programma esteso

Parte 1. Preliminari all’analisi complessa. Funzioni olomorfe. Regioni. Funzioni olomorfe: definizione ed esempi. Funzioni intere. Funzioni a valori complessi visti come mappe. Funzioni olomorfe e funzioni differenziabili da R 2 in sé. Condizioni di Cauchy–Riemann. Serie di potenze. Serie di potenze. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie di e z , sin z e cos z. Le serie di potenze definiscono funzioni olomorfe all’intero del loro cerchio di convergenza. Integrazione lungo curve. Curve parametriche, curve parametriche lisce, curve parametriche regolari a pezzi, curve parametriche equivalenti. Curve lisce, curve regolari a pezzi. Orientazione. Integrazione lungo curve e sue proprietà. Primitiva di una funzione e proprietà dell’integrale di funzioni che ammettono primitive. Funzioni con derivata nulla in una regione sono costanti.
Parte 2. Il teorema di Cauchy e applicazioni. Il lemma di Goursat. Il lemma di Goursat per triangoli. Analogo per rettangoli. Esistenza di primitive locali e il teorema di Cauchy per un disco. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un disco. Teorema di Cauchy in un disco. Contorni giocattolo e teorema di Cauchy relativo. Calcolo di alcuni integrali. Esempi di calcolo di integrali utilizzando il teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per un disco. Analogo per contorni giocattolo. Formula di Cauchy per le derivate. Disuguaglianze di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono localmente somma di serie di potenze. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di identità delle funzioni olomorfe e prolungamento analitico. Ulteriori applicazioni. Il teorema di Morera. Convergenza uniforme sui compatti di successioni di funzioni olomorfe. Funzioni olomorfe definite mediante integrali. Il principio di simmetria (Teorema 5.5) e il principio di riflessione di Schwarz. Il problema dell’approssimazione mediante polinomi e il teorema di Runge.
Parte 3. Funzioni meromorfe e il logaritmo. Zeri e poli. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo zero. Molteplicità di uno zero, zeri semplici. Polo di una funzione olomorfa. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo polo. Ordine del polo, parte principale e residuo. Formula per il residuo di un polo di ordine n. Formula dei residui. Il teorema dei residui. Esempi di applicazione del teorema dei residui. Singolarità e funzioni meromorfe. Singolarità rimovibili. Il teorema di Riemann sulle singolarità rimovibili. Caratterizzazione dei poli. Singolarità essenziali. Comportamento di una funzione in un intorno di una singolarità essenziale: il teorema di Casorati–Weierstrass. Funzioni meromorfe in una regione. Singolarità all’infinito. Caratterizzazione delle funzioni meromorfe nel piano complesso esteso. Il principio dell’argomento e applicazioni. Il principio dell’argomento. Il teorema di Rouché. Teorema della mappa aperta. Teorema del massimo modulo. Omotopie e domini semplicemente connessi. Integrazione di funzioni olomorfe su curve omotope. Domini semplicemente connessi. Esistenza di primitive di funzioni olomorfe e teorema di Cauchy in domini semplicemente connessi. Il logaritmo complesso. Esistenza del logaritmo in una regione semplicemente connessa. Determinazione principale del logaritmo. Serie di potenze del logaritmo. Esistenza del logaritmo di una funzione che non si annulla in una regione semplicemente connessa.
Parte 4. Funzioni intere. La formula di Jensen. Teorema di Jensen. Funzioni di ordine finito. Ordine di una funzione intera. Relazione tra ordine di una funzione intera e suoi zeri. Prodotti infiniti. Definizione di convergenza di un prodotto infinito. Condizione sufficiente di convergenza. Convergenza di prodotti di funzioni olomorfe. La formula prodotto della funzione seno. Prodotti infiniti di Weierstrass. Esistenza di una funzione intera con zeri prescritti. Il teorema di fattorizzazione di Hadamard. Fattorizzazione di funzion

Bibliografia consigliata

Stein and Shakarchi, “Complex analysis”, Princeton University Press.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni frontali, con uso di lavagna.

Periodo: I semestre

Contatti/Altre informazioni

Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Pagina web
https://elearning.unimib.it/course/info.php?id=24354