Anno di corso: 1

Crediti: 12
Crediti: 6
Crediti: 16
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Crediti: 12
Crediti: 14
Crediti: 6
Crediti: 12
Crediti: 8

Anno di corso: 3

Crediti: 12
Crediti: 6
Crediti: 12
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 6
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 6
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Altro

ANALISI MATEMATICA I

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2018/2019
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2018/2019
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
12
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
112
Prerequisiti: 

Algebra, geometria e trigonometria elementari

Moduli

Metodi di valutazione

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Esame scritto e orale

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

L’insegnamento si prefigge come obiettivi l’introduzione dei concetti di base dell’Analisi Matematica moderna per funzioni di una variabile reale e lo sviluppo rigoroso della relativa teoria. Lo scopo del corso è quello di condurre lo studente all’acquisizione e alla padronanza dei contenuti, alla capacità di elaborarne i concetti fondamentali in maniera critica, di risolvere problemi e di applicare i metodi appresi a contesti diversi.

Contenuti

Numeri reali e complessi. Funzioni reali di variabile reale: limiti, continuità, calcolo differenziale, calcolo integrale. Successioni e serie numeriche

Programma esteso

I numeri naturali. Assiomi di Peano e il principio di induzione matematica. Simboli di sommatoria, produttoria e fattoriale, coefficienti binomiali, sviluppo della potenza n–esima del binomio (formula del binomio di Newton).
I numeri reali. Campi, campi ordinati e i numeri razionali. Completezza e assioma di continuità. Incompletezza dei numeri razionali. Definizione assiomatica dei numeri reali. Cenni alle sezioni di Dedekind. I numeri naturali come sottoinsieme dei numeri reali. Proprietà archimedea. Estremo superiore/inferiore e loro proprietà. Esistenza dell’estremo superiore/inferiore. Esistenza e unicità delle radici n–esime. Rappresentazione binaria e rappresentazione decimale. Parte intera e modulo di un numero reale. Definizione di potenza con esponente naturale, intero, razionale e reale.
I numeri complessi. Definizione, forma algebrica, modulo, complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, disuguaglianza triangolare. Forma trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso, prodotto e potenza in forma trigonometrica/esponenziale. Funzione esponenziale ed esponenziale complesso. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato).
Topologia della retta reale. Definizione di distanza sulla retta reale, intorni, punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati. Densità dei numeri razionali nei numeri reali. Teorema di Bolzano–Weierstrass.
Funzioni. Definizione, dominio, codominio, immagine e controimmagine. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione composta, funzione inversa, restrizione. Insiemi numerabili. Numerabilità dei numeri razionali e non numerabilità dei numeri reali. Funzioni reali di variabile reale e loro grafico. Funzioni monotone, estremo superiore e inferiore, massimo e minimo, punti di massimo e di minimo. Funzioni elementari e loro grafici (richiami sulle potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e le loro inverse, valore assoluto, parte intera, parte frazionaria, segno).
Limiti. Definizione di limite, esempi e proprietà: unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto (dei due carabinieri). Limite della somma, del prodotto, del rapporto e della funzione composta. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Limiti destri e sinistri. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Asintotico, simboli di o piccolo e O grande. Infiniti, infinitesimi e loro confronto.
Successioni in campo reale. Successioni e limiti di successioni. Limitatezza delle successioni convergenti. Sottosuccessioni. Ogni successione limitata ha una una sottosuccessione convergente. Insiemi compatti. Compattezza degli insiemi chiusi e limitati (Heine-Borel). Successioni monotone e definizione del numero e (costante di Nepero). Criterio di Cauchy, limite inferiore, limite superiore e loro proprietà.
Continuità. Definizione di funzione continua. Continuità della funzione composta. Teorema della permanenza del segno. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa. Continuità delle funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Teorema ponte. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme. Continuità uniforme di funzioni continue su compatti (Heine–Cantor). Punti di discontinuità. Funzioni Lipschitziane.
Serie. Definizione. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie assolutamente convergenti e criterio della convergenza assoluta. Serie a termini positivi: criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e criterio del rapporto. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.
Calcolo differenziale. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivabilità. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi. Continuità delle funzion

Bibliografia consigliata

E. Giusti. Analisi Matematica I. Bollati Boringhieri.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

lezione frontale (8 cfu), esercitazione (4 cfu)