Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 12
Crediti: 12
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 18
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 4
Tipo: Lingua/Prova Finale

ALGEBRA I

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2018/2019
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2018/2019
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
72
Prerequisiti: 

Nozioni standard di matematica generale impartite nella scuola secondaria

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L'esame è suddiviso in tre fasi:

Test a scelta multipla per accertarsi che i concetti base siano stati acquisiti.
Se sufficiente tale test da accesso alla prova scritta consistente nella risoluzione di alcuni esercizi.
Se il voto nello scritto varia tra 18 e 21 o tra 28 e 30, lo studente dovra' sostenere una prova orale. Tra 22 e 27 sara' sua facolta' decidere se sostenere tale prova. In caso contrario verra' confermato il voto dello scritto. La prova orale richiede l'esposizione di asserti e dimostrazioni di teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo.

Durante l'anno sono previsti 5 appelli: due a Febbraio e uno a Giugno, Luglio e Settembre.

La prova scritta e orale vanno sostenute nella stessa sessione.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso è introdurre gli studenti ad alcuni degli oggetti e dei metodi dell'algebra. Si studieranno le proprietà di strutture algebriche fondamentali, con enfasi su gruppi, anelli e campi. Tempo permettendo verranno forniti alcuni rudimenti su linguaggi di programmazione simbolica quali GAP, Magma e Mathematica.

Contenuti

Insiemi, relazioni, operazioni; Aritmetica intera e modulare; Elementi di teoria dei gruppi e degli anelli; Algebre polinomiali

Programma esteso

1) Insiemi, relazioni, operazioni: assioma della scelta; relazioni d'ordine (Lemma di Zorn); relazioni d'equivalenza; teorema di omomorfismo per gli insiemi; congruenze.
2) Aritmetica dell'insieme Z degli interi relativi. Aritmetica modulare.
3) Elementi di teoria dei gruppi: sottogruppi, sottogruppo generato da un sottoinsieme; gruppi ciclici; laterali di un
sottogruppo, teorema di Lagrange; congruenze in un gruppo; sottogruppi normali; morfismi di gruppo e gruppi
quoziente; teoremi fondamentali sui morfismi; automorfismi; prodotti diretti e semidiretti; gruppo simmetrico e
gruppo alterno, gruppi di permutazioni; azioni di gruppo (G-insiemi): rappresentazione regolare, azioni per coniugio, orbite di un'azione di gruppo (equazione delle orbite, esempi); i teoremi di Sylow.
4) Elementi di teoria degli anelli: domini, corpi, campi; morfismi di anello: ideali, anelli quoziente, teoria elementare dei morfismi; teorema cinese dei resti; divisibilità in un dominio; immersione di un dominio in un campo; ideali primi e ideali massimali; domini euclidei, domini a ideali principali; domini a fattorizzazione unica; interi di Gauss.
5) Algebre polinomiali: polinomi in una variabile su un campo: decomposizione di un polinomio in fattori irriducibili, radici di un polinomio. Test di irriducibilità. Costruzione di campi mediante polinomi irriducibili.

Bibliografia consigliata

Testo di riferimento: Sono disponibili sulla piattaforma del corso sia delle note scritte in Latex che gli appunti in videoscrittura delle singole lezioni.

Altri testi consigliati:

Aschbacher, Finite Group Theory 2nd ed, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Bosch, Algebra, Springer Verlag, 2003.

Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra 3rd ed, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2009.

Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985

Eserciziari:

Alzati, Bianchi, Cariboni, Esercizi di matematica discreta, Pearson, 2012
Chirivi', del Corso, Dvornichich, Esercizi scelti di algebra Vol. 1, Springer, 2017

Metodi didattici

Lezioni frontali (6 CFU); Esercitazioni (2 CFU)