Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 12
Crediti: 12
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 18
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 4
Tipo: Lingua/Prova Finale

ANALISI MATEMATICA II

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2018/2019
Anno di corso: 
2
Anno accademico di erogazione: 
2019/2020
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
12
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
112
Prerequisiti: 

Analisi I, Algebra lineare e Geometria I

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Prova scritta e prova orale pesate 1/2 e 1/2 ciascuna del voto finale
Nella prova scritta si richiede di dimostrare di saper applicare i contenuti teorici del corso alla risoluzione di problemi. Nella prova orale si richiede la capacità di esporre gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte.
Nel corso dell’anno sono previsti 5 appelli d’esame nei seguenti periodi: due nel mese di febbraio, uno a giugno, uno a luglio e uno a settembre. Ogni appello d’esame prevede prima una prova scritta e poi, in caso di superamento della prova scritta, una prova teorica/orale a pochi giorni di distanza. Durante il periodo delle lezioni si terranno due prove scritte parziali che, in caso di esito complessivo positivo, permetteranno di sostenere direttamente la prova orale nel mese di febbraio.
Voto minimo dello scritto per essere ammessi all'orale: 16/33.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Corso base sul calcolo differenziale in più variabili, equazioni differenziali ordinarie, rudimenti di calcolo integrale in più variabili.
I risultati di apprendimento attesi includono
• Conoscenze: acquisire la nozione di spazio di Banach avendo in mente alcuni esempi classici: le funzioni continue/limitate su un intervallo chiuso e limitato. Comprensione delle definizioni e risultati principali del calcolo differenziale in più variabili e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
• Capacità: acquisire le principali tecniche di integrazione per funzioni di più variabili in domini delimitati da curve regolari nonché la capacità di applicare le conoscenze astratte suindicate ai problemi concreti.

Contenuti

Spazi metrici e spazi normati:esempi. Successioni e serie di funzioni. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivate direzionali, differenziale, matrice Hessiana, estremi liberi. Integrali multipli secondo Riemann e relative formule di riduzione: teorema di Fubini. Formula di cambiamento di variabili: coordinate polari, sferiche e cilindriche. Equazioni differenziali ordinarie: teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. Funzioni definite implicitamente; massimi e minimi vincolati.

Programma esteso

1. Calcolo differenziale in più variabili
1. Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Legame tra le derivate direzionali nel caso di funzioni differenziabili. Legami tra continuità e derivabilità e differenziabilità. Derivate di ordine successivo. Derivate di funzioni composte.
2. Massimi e minimi in insiemi aperti: condizione necessaria per funzioni differenziabili e curve di livello.
3. Matrici definite/semidefinite positive e relativi criteri Matrice Hessiana. Formula di Taylor arrestata al secondo ordine. Funzioni convesse e relativo criterio per il riconoscimento dei loro estremanti.
4. Riconoscimento dei massimi e minimi mediante la matrice Hessiana.

2. Calcolo integrale in piu' variabili
1. Integrale di Riemann di una funzione di più variabili a valori reali.
2. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan: condizione necessaria e sufficiente per la misurabilità nel caso di insiemi limitati. Esempi di insiemi misurabili e non.
3. Metodo di riduzione (Teorema di Fubini) per gli integrali multipli. Baricentro di un insieme misurabile bidimensionale. Volume dei solidi.
4. Cambio di variabili negli integrali doppi e tripli (*): coordinate polari, sferiche e cilindriche. Volume dei solidi di rotazione: Teorema di Guldino.
5. Integrali impropri.

3. Curve e superfici
1. Curve regolari/ regolari a tratti/ chiuse /semplici in Rn. Lunghezza di una curva: definizioni equivalenti e indipendenza dalla parametrizzazione (non è richiesta la dimostrazione del Teorema 15.4 del libro di Giusti). Ascissa curvilinea.
2. Teorema delle funzioni implicite (Dini) nel caso bidimensionale. Superfici in forma cartesiana; condizioni sufficienti affinché una superficie sia localmente un grafico. Prodotto vettoriale e teorema di Dini nel caso di una funzione da R3 in R2 (senza dimostrazione)
3. Massimi e minimi in insiemi compatti: moltiplicatori di Lagrange ( dimostrazione solo nel caso di un vincolo in R2).

4. Successioni e serie di funzioni
1. Spazi vettoriali normati: esempi (C[a,b], B[a,b],Cn[a,b]). Spazi di Banach.
2. Teorema delle contrazioni.
3. Convergenza puntuale e uniforme per successioni/serie di funzioni a valori reali. Criterio di Weierstrass per le serie di funzioni. Convergenza uniforme e limitatezza/continuità delle funzione limite. Convergenza puntuale/ uniforme per funzioni derivabili/integrabili e relativi teoremi di passaggio al limite.
4. Serie di potenze: raggio di convergenza. Serie di Taylor. Approssimazione di integrali mediante l’uso di serie di potenze.

5. Equazioni differenziali
1. Problema di Cauchy per equazioni del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Intervallo massimale di definizione e relative proprietà (*). Condizione di sublinearità. Teorema di esistenza e unicit`a globale (non è richiesta la dimostrazione nel caso sublineare).
2. Equazioni di ordine n: equivalenza con un sistema del primo ordine. Sistemi lineari del primo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo del primo ordine. Soluzioni nel caso non omogeneo. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie nel caso di un’equazione di ordine n.
3. Matrice esponenziale: definizione e proprietà . Calcolo della matrice esponenziale nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile nel campo reale. E' richiesto il calcolo negli altri casi solo per matrici 3 x 3.
4. Metodi di soluzione per alcune equazioni e sistemi particolari.

Bibliografia consigliata

Testo di riferimento: C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
Testi di consultazione:
Enrico Giusti: Analisi Matematica II ed. Bollati Boringhieri.
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 1 Ed. Zanichelli
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2 vecchia edizione Bollati Boringhieri

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni (8cfu)+ esercitazioni (4cfu) +tutoraggio.

Lezioni in Italiano

Periodo: Primo Semestre.

Contatti/Altre informazioni

Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Pagina web
https://elearning.unimib.it/course/info.php?id=24365