Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente

Anno di corso: 2

Crediti: 8
Crediti: 16
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 39
Tipo: Lingua/Prova Finale

METODI DELLA FISICA MATEMATICA

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2018/2019
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2018/2019
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
62
Prerequisiti: 

Il corso non richiede la frequenza ad alcun altro corso della laurea Magistrale. Sono necessarie le nozioni dei corsi di Analisi I e II, Algebra lineare e Geometria, Fisica I e II e Sistemi Dinamici e Meccanica Classica della laurea triennale. Possono essere utili ai fini del corso quelle presentate nei corsi di Analisi Complessa a Fisica Matematica del terzo anno.

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Esame orale. La prima parte consiste nella presentazione di un breve elaborato preparato dallo studente su un argomento scelto tra quelli di una lista fornita dal docente che comprende (anche) temi complementari a quelli presentati a lezione.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Il corso è una introduzione alle idee, ai principi generali, alle equazioni e ad alcuni problemi particolari e modelli dell'Elasticità e della Fluidodinamica. In altre parole, il corso è rivolto alla presentazione dei fondamenti matematici e fisici della meccanica dei corpi continui, con una particolare enfasi sulla fluidodinamica. Un capitolo importante è rivolto allo studio della teoria delle onde (lineari e non lineari, dispersive e non dispersive).

Contenuti

Teoria delle deformazioni per i corpi continui.
Il tensore di deformazione ed il tensore degli sforzi. Il gradiente di velocità.
Teoremi di trasporto e loro formulazione nella geometra delle forme differenziali nello spazio euclideo tridimensionale..
Le equazioni di conservazione della massa, l'equazione di Cauchy, l'equazione dell'energia e la disuguaglianza entropica.
I fluidi e le equazioni di Eulero.
Teorema di Bernoulli ed applicazioni.
Le equazioni di Hemholtz.
Teoria dell'ala.
Onde sonore.
Onde di gravità: sistemi aria-acqua e fluidi stratificati.
Onde in "shallow water": le equazioni di KdV, Burgers e Airy
Le equazioni di Navier-Stokes e le loro prime applicazioni.
Trasformazioni di scala e numero di Reynolds. Lo strato limite.

Programma esteso

Il corso inizia con lo studio della deformazione e del moto di un corpo continuo attraverso l'introsuzione delle nozioni di gradiente di deformazione e di gradiente di velocità. Questa parte del corso introduce ed utilizza metodi di “geometria differenziale nello spazio euclideo tridimensionale”.

I teoremi di trasporto di quantità scalari e vettoriali vengono discussi e dimostrati, come parte saliente della cinematica dei corpi continui.

Quindi si passa allo dinamica con lo studio delle azioni che si esercitano sui corpi deformabili. Il centro del discorso è la teoria di Cauchy degli sforzi. Si trattano le equazioni di conservazione della massa, e di bilancio della quantità di moto, del momento angolare e dell'energia. Si discutono poi le nozioni di energia interna e di entropia e si rivedono il primo ed il secondo principio della Termodinamica.

Si passa alla caratterizzazione delle proprietà meccaniche (e termiche) dei solidi, dei liquidi e dei gas mediante le equazioni costitutive e le equazioni di stato. Si considerano i modelli dei corpi solidi elastici e dei fluidi newtoniani, comprimibili ed incomprimibili ed eventualmente viscosi.

Poi si studiano più approfonditamente le equazioni della fluidodinamica, partendo dal modello delle equazioni di Eulero, e derivando alcuni modelli che permettono di descrivere rilevanti fenomeni fisici.

Si parte dallo studio di soluzioni statiche, per poi aprire un’ampia “pagina” dedicata alle equazioni di Eulero per i cosiddetti fluidi ideali, ed alle sue conseguenze ed applicazioni, come l’equazione di Bernoulli, le leggi di Helmholtz sull’evoluzione della vorticità e la conservazione della circolazione.

In seguito vengono discussi i seguenti punti:

Fluidi comprimibili e onde sonore.
Il regime di incomprimibilità (ovvero i fluidi incomprimibili)
Flussi irrotazionali nel piano: la funzione di flusso e il potenziale complesso.
Flusso attorno ad ostacoli (Teoria dell’ala).
Onde di gravità in un fluido incomprimibile (“water waves").
Onde di gravità in fluidi stratificati (onde interne negli oceani).
Cenni all’equazione di Korteweg – de-Vries per le onde in “shallow water”: nonlinearità, dispersione e soluzioni solitoniche.
Dinamica dei gas ed equazioni quasi-lineari: teoria delle caratteristiche e onde di shock.

Il corso prosegue con lo studio delle proprietà dei fluidi viscosi, descritti dall’equazione di Navier Stokes.

Vengono discussi e/o introdotti i seguenti concetti:

Il trasporto di quantità di moto tramite “azioni di taglio”.
La non-conservazione dell’energia “meccanica” in Navier-Stokes.
La diffusione della vorticità.
Autosimilarità e numero di Reynolds.
Lo strato limite e le equazioni di Prandtl.

Bibliografia consigliata

P. Chadwick, Continuum Mechanics: Concise Theory and Applications. Dover Publications, 1999.
M. Gurtin, E. Fried, L. Anand,The Mechanics and Thermodynamics of Continua. Cambridge University Press, 2010
G. Falkovich, Fluid Mechanics (a short course for physicists). Cambridge University Press, 2011.

Gli appunti delle lezioni sono pubblicati sulla pagina e-learning del corso.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni (6CFU).
Esercitazioni (2CFU).

Contatti/Altre informazioni

Note delle lezioni saranno disponibili sulla pagina personale del docente