Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 8
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Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente

Anno di corso: 2

Crediti: 8
Crediti: 16
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 39
Tipo: Lingua/Prova Finale

ANALISI SUPERIORE

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2018/2019
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2018/2019
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
56
Prerequisiti: 

Calcolo in più variabili, algebra lineare, fondamenti di spazi di Hilbert e di spazi Lp

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Prova scritta, con domande di carattere teorico ed esercizi

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Fornire un'introduzione a metodi analitici di base, utilizzando il problema di Dirichlet del laplaciano quale filo conduttore.

Contenuti

Nozioni basilari sulla convoluzione e la trasformata di Fourier, il problema di Diriclet nella palla unitaria e nel semispazio, distribuzioni, regolarità di distribuzioni, soluzione del problema di Dirichlet attraverso metodi hilbertiani.

Programma esteso

Capitolo 0. Nozioni preliminari
Convoluzione. Ipersuperficie di classe C k in R n .
Teorema della divergenza. Operatori li-
mitati. Estensione di operatori densamente definiti. Misure
complesse.

Capitolo 1. Il problema di Dirichlet classico
Funzioni armoniche. Teoremi del valor medio per funzioni
armoniche. Caratterizzazione di funzioni ar-
moniche mediante la media.
Principio del massimo per funzioni armoniche e unicità del problema di Dirichlet.
Potenziale newtoniano. Formula di rappresentazione di Green e sue conseguenze. Funzione di Green e sue proprietà. Nucleo di Poisson.
Funzione di Green e nucleo di Poisson per il semispazio. Ulteriori proprietà
delle funzioni armoniche: stima delle derivate, principio di
riflessione di Schwarz e Teorema di Liouville. Risoluzione del
problema di Dirichlet classico sul semispazio.
La funzione di Green per la sfera. Il relativo nucleo di Poisson. Soluzione del problema di Dirichlet per la sfera per n ≥ 3. Soluzione del problema di Dirichlet per il disco in dimensione
due, via serie di Fourier.

Capitolo 2. Dati L p sul semispazio e convergenza al bordo
Integrale di Poisson di misure e di funzioni L p . Convergenza debole ∗ . L’inte-
grale di Poisson risolve il problema di Dirichlet sul semispazio con condizioni al
bordo in senso L p o debole *.
Operatori di tipo debole (1, 1). Il teorema di interpolazione di Marcinkiewicz.
La funzione massimale di Hardy–Littlewood. Un lemma di ricoprimento.
Proprietà di limitatezza della funzione massimale di Hardy–Littlewood. Il teorema di differenziazione di Lebesgue.
Convergenza non tangenziale degli integrali di Poisson. Stime del nucleo di Poisson, funzioni massimali radiale e non tangenziale di Poisson e
relativo risultato di convergenza puntuale.

Capitolo 3. Funzioni generalizzate e loro derivate
Funzioni e misure come funzionali lineari. Distribuzioni. Ogni funzione localmente integrabile è una distribuzione.
Derivate di distribuzioni. Esempi. Definizione di derivata debole (Definizione 3.3.4) e confronto con la derivata distribuzionale. Gli spazi di Sobolev
H m (Ω) e loro proprietà fondamentali.

Capitolo 4. Ulteriori proprietà delle distribuzione e regolarità
Convoluzione, moltiplicazione. Distribuzioni nulle su un aperto e loro proprietà,
convoluzione di due distribuzioni.
Soluzioni distribuzionali di equazioni a coefficienti costanti.
Soluzioni fondamentali. Esempi. Soluzione fondamentale del
laplaciano e soluzioni distribuzionali dell’equazione di Poisson.
Parametriche e parametriche a supporto compatto. Regolarità e Lemma di Weyl.

Capitolo 5. Metodi di spazi di Hilbert
L’operatore traccia di H 1 (Ω).
Lo spazio H 0 1 (Ω). Disuguaglianza di Poincaré. Integrale di
Dirichlet. Caratterizzazione delle funzioni di H 0 1 (Ω) tramite l’operatore di trac-
cia.
Il duale H −1 (Ω) di H 0 1 (Ω). Il laplaciano è un isomorfismo tra H 0 1 (Ω) e H −1 (Ω). Caratterizzazione del duale di H 0 1 (Ω).
Nuova formulazione del problema di Dirichlet. Risolubilità del problema di
Dirichlet generalizzato. Controesempio di Weierstrass. Operatori ellittici più generali.

Bibliografia consigliata

Dispense disponibili sul sito del docente.
A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 1900.
H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni frontali con lavagna