Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 8
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 10
Tipo: A scelta dello studente

Anno di corso: 2

Crediti: 8
Crediti: 16
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 39
Tipo: Lingua/Prova Finale

APPROSSIMAZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2018/2019
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2018/2019
Tipo di attività: 
Obbligatorio a scelta
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
56
Prerequisiti: 

Si assumono buone conoscenze di Analisi e di Algebra Lineale.
Buone conoscenze del Analisi Numerico di Base. Buona conoscenze di MATLAB
Auspicabile: buone conoscenze di base di analisi di ODEs

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L'esame consiste di due parti:
--la correzione di un elaborato che riassume un piccolo progetto a scelta e
--una piccola prova finale (orale o scritta) individuale dopo l'iscrizione ad un appello.

Il progetto potrà essere scelto da un elenco, che verrà messo a disposizione verso la fine del corso e ha validità fino al primo appello della successiva edizione del corso. È permesso svolgere il progetto in collaborazione con al più due altre persone (cioe, gruppi di un massimo di tre persone). Va consegnato in formato pdf e descrive i risultati ottenuti in al più 10-15 pagine; si raccomanda di scriverlo autonomamente. Deve essere consegnato, insieme ai nominativi del gruppo, tre-quattro giorni lavorativi prima della data concordata per la prova finale e una parte del esame verserà sul contenuto dell'elaborato.

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Gli obiettivi principali del corso sono:
- Fornire conoscenze dei metodi numerici per la integrazione dei sistemi di Equazioni differenziali ordinarie
- Capacita per costruire (disegnare) ed analizare i diversi metodi numerici per la integrazione dei sistemi di Equazioni differenziali ordinarie
- Capacita per scegliere il metodo numerico piú adeguato per problemi concreti
- Capacita per implementare in modo efficiente i diversi metodi numerici
- Capacita per interpretare e analizzare i risoltati numerici

Contenuti

Il corso si propone di presentare uno studio teorico (e pratico) dei diversi metodi per approssimare equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici. Gli argomenti trattati comprendono: buona posizione dei problemi di valore iniziale, analisi del metodo di Eulero, metodi di Runge-Kutta, metodi per problemi stiff e integratori geometrici. Gli argomenti verrano coperti dal punto di vista matematico, studiando come costruire e analizzare i metodi numerici per ODEs, esplorando le sue
proprietà e validando gli algoritmi in problemi concreti.

Programma esteso

1- Introduzione al corso:
Breve introduzione al corso. Richiami della teoria delle equazione (e dei sistemi di equazioni) differenziali ordinari (ODEs). Condizioni di esistenza e unicità. Buona posizione. Richiami della teoria di integrazione numerica (regole di quadratura).

2- Metodi ad un paso :
Metodo di Eulero. Teoria di Convergenza. Metodi Runge-Kutta (RK). Condizioni di ordine e teoria di convergenza. Extrapolazione di Richardson. Metodi di RK embedded.

3.- Stabilita Lineare e Integratori numerici per problemi Stiff:
Stabilita lineare. Stabilit\'a dei Metodi RK. Problemi Stiff.
Metodo BDF (Backward Differential Formula).

4.-Metodi di Collocazione.
Analisi di convergenza per i metodi di RK impliciti. Implementazione. Metodi di Runge-Kutta partizionati e Metodi di tipo Splitting. Definizione di Aggiunto di un metodo.
5.- Introduzione agli Integratori Geometrici:

Integratori Geometrici: studio qualitativo delle soluzioni. Conservazione numerica degli invariati. Integratori simmetrici e Reversibilit\'a. Integratori symplectici.

Se il tempo lo permette, si potranno inoltre studiare, sempre a seconda dello interesse da parte degli studenti:

-Applicazione e uso dei punti contenuti del corso per la costruzione di metodi numerici per PDEs dipendenti dal tempo (Hyperbolic-type, Parabolic-type e leggi di conservazione) ,
oppure
-Cenni a SDEs (Equazioni differenziali stocastiche) & Cenni alla costruzione di integratori numerici per SDEs

Bibliografia consigliata

Verrano distribuite alcune note e dispense per diversi argomenti (quasi tutto in inglese!).

Bibliografia ( diversi capitoli selezionati di in ogni libro):

-E. Hairer and S. P. Norsett and G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations I ”, Springer, Berlin, 1993.
-E. Hairer and G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations II ”, Springer, Berlin, 1996.
-E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, “Geometric Numerical Integration”, second edition, Springer, Berlin, 2006.
-B. Leimkuhler and S. Reich, “Simulating Hamiltonian Dynamics”, Cambridge University
Press, 2005.
MATLAB verra' usato per gli esempi, esercizi, e progetti nel laboratorio.

Metodi didattici

Lezioni frontali e nel laboratorio.
MATLAB verra usato per gli esempi, esercizi, e progetti.