Anno di corso: 1

Crediti: 8
Crediti: 12
Crediti: 12
Crediti: 8
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale
Crediti: 3
Tipo: Lingua/Prova Finale

Anno di corso: 2

Anno di corso: 3

Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 8
Crediti: 6
Crediti: 6
Crediti: 18
Tipo: A scelta dello studente
Crediti: 4
Tipo: Lingua/Prova Finale

ALGEBRA I

Scheda dell'insegnamento

Anno accademico di regolamento: 
2019/2020
Anno di corso: 
1
Anno accademico di erogazione: 
2019/2020
Tipo di attività: 
Obbligatorio
Lingua: 
Italiano
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' didattica: 
72
Prerequisiti: 

Nozioni standard di matematica generale impartite nella scuola secondaria.

Moduli

Metodi di valutazione

Tipo di esame: 
Orale
Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L'accesso all'esame scritto richiede il superamento di una prova informatizzata.
Per accedere a tale prova e' necessario iscriversi al portale di WIMS.
Su tale portale sono disponibili 12 test di autovalutazione (uno per settimana di corso) che verranno gradualmente attivati.
Siete caldamente esortati a risolverli poiche' parte dell'esame consistera' in esercizi selezionati tra quelli dei test.
Al termine del corso verra' attribuito un bonus di xx punti se conseguito un punteggio yy ove
• xx=2 per 27

Valutazione: 
Voto Finale

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso è introdurre gli studenti ad alcuni degli oggetti e dei metodi dell'algebra. Si studieranno le proprietà di strutture algebriche fondamentali, con enfasi su gruppi, anelli e campi. Tempo permettendo verranno forniti alcuni rudimenti su linguaggi di programmazione simbolica quali GAP, Magma e Mathematica.
Al termine del corso lo studente dovra' dimostrare di essere in grado di risolvere sia esercizi di routine che di saper applicare la teoria alla rsoluzione di esercizi piu' complessi.

Contenuti

Insiemi, relazioni, operazioni; Aritmetica intera e modulare; Elementi di teoria dei gruppi e degli anelli; Algebre polinomiali.

Programma esteso

1) Insiemi, relazioni, operazioni: assioma della scelta; relazioni d'ordine (Lemma di Zorn); relazioni d'equivalenza; teorema di omomorfismo per gli insiemi; congruenze.
2) Aritmetica dell'insieme Z degli interi relativi. Aritmetica modulare.
3) Elementi di teoria dei gruppi: sottogruppi, sottogruppo generato da un sottoinsieme; gruppi ciclici; laterali di un sottogruppo, teorema di Lagrange; congruenze in un gruppo; sottogruppi normali; morfismi di gruppo e gruppi quoziente; teoremi fondamentali sui morfismi;automorfismi; prodotti diretti e semidiretti; gruppo simmetrico e gruppo alterno, gruppi di permutazioni; azioni di gruppo (G-insiemi): rappresentazione regolare, azioni per coniugio, orbite di un'azione di gruppo (equazione delle orbite, esempi); i teoremi di Sylow.
4) Elementi di teoria degli anelli: domini, corpi, campi; morfismi di anello: ideali, anelli quoziente, teoria elementare dei morfismi; teorema cinese dei resti; divisibilità in un dominio; immersione di un dominio in un campo; ideali primi e ideali massimali; domini euclidei, domini a ideali principali; domini a fattorizzazione unica; interi di Gauss.
5) Algebre polinomiali: polinomi in una variabile su un campo: decomposizione di un polinomio in fattori irriducibili, radici di un polinomio. Test di irriducibilità. Costruzione di campi mediante polinomi irriducibili.

Bibliografia consigliata

Testo di riferimento: Sono disponibili sulla piattaforma del corso sia delle note scritte in Latex che gli appunti in videoscrittura delle singole lezioni.
Altri testi consigliati:
• Aschbacher, Finite Group Theory 2nd ed, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
• Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra 3rd ed, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2009.
• Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985
• Machi, Gruppi, Springer-Verlag, 2007
Eserciziari:
• Alzati, Bianchi, Cariboni, Esercizi di matematica discreta, Pearson, 2012
• Chirivi', del Corso, Dvornichich, Esercizi scelti di algebra Voll. 1 e 2, Springer, 2017

Modalità di erogazione

Convenzionale

Metodi didattici

Lezioni: 6 cfu
Esercitazioni: 2 cfu
Semestre: Secondo

Contatti/Altre informazioni

Orario di ricevimento
Per appuntamento da fissarsi previa comunicazione con posta elettronica.
Pagina web
https://elearning.unimib.it/course/info.php?id=24370